打家劫舍系列的动态规划题，你是否抓住了解题核心？

打家劫舍系列动态规划题：你抓住解题核心了吗？

面对动态规划中的经典题型"打家劫舍"系列，你是否真正理解了它的核心解题逻辑？ 这个看似简单的"偷与不偷"的选择题，实则暗藏动态规划最本质的特征：当前决策直接影响后续状态。本文将通过三个典型变种的深度解析，揭示这道题背后的动态规划思维模型。

一、动态规划解题核心框架

1.1 核心特征：决策的连锁反应
动态规划的本质在于每个决策都会产生连锁反应。在打家劫舍问题中，选择偷窃当前房屋会导致无法偷窃相邻房屋，这个限制条件正是动态规划状态转移的关键所在。

1.2 解题三要素
1. 状态定义：dp[i]表示前i个房屋能获得的最大收益
2. 转移方程：
```python
dp[i] = max(dp[i到1], dp[i-2] + nums[i])
```
3. 边界条件：初始化dp[0]和dp[1]的特殊情况

1.3 空间优化技巧
通过滚动变量替代数组，将空间复杂度从O(n)降为O(1)：

代码如下

 ```python
 prev, curr = 0, nums[0]
 for i in range(1, n):
 prev, curr = curr, max(curr, prev + nums[i])
 ```

二、系列变种深度解析

2.1 基础版：线性排列（LeetCode 198）
核心矛盾：相邻房屋不能同时偷窃
解决思路：
1. 创建dp数组记录每个位置的最优解
2. 比较偷当前房屋（取i到2位置值+当前值）与不偷（取i-1位置值）
3. 时间复杂度O(n)，空间可优化为O(1)

2.2 进阶版：环形排列（LeetCode 213）
新增约束：首尾房屋形成环形结构
破局方法：
1. 分治策略：拆解为两个线性问题
不偷第一个房屋：求nums[1:]
不偷最后一个房屋：求nums[:到1]
2. 取两种情况的最大值

2.3 终极版：树形结构（LeetCode 337）
维度升级：房屋排列转化为二叉树

解法突破：

 ```python
 def rob(root):
 def dfs(node):
 if not node: return (0, 0)
 left = dfs(node.left)
 right = dfs(node.right)
 rob = node.val + left[1] + right[1]
 not_rob = max(left) + max(right)
 return (rob, not_rob)
 return max(dfs(root))
 ```

后序遍历的精髓：每个节点返回两个状态值（偷/不偷），自底向上推导最优解。

三、常见解题误区警示

3.1 错误1：暴力枚举所有可能
典型表现：试图列出所有偷窃组合
正确思路：通过状态转移复用中间结果

3.2 错误2：环形排列的边界处理
易错点：简单去掉首尾元素
标准解法：必须保证首尾不同时被偷

3.3 错误3：树形结构的线性思维
常见错误：按层次顺序处理
正确方法：必须采用后序遍历

四、动态规划思维延伸

4.1 状态定义的灵活性
通过树形结构变种可以看出，动态规划的状态定义需要根据问题特征灵活调整。在树形场景中，每个节点需要维护两个状态值，这与线性排列的单一状态有明显区别。

4.2 空间优化的通用方法
滚动变量法在多数线性动态规划问题中都适用：
斐波那契数列
爬楼梯问题
最小路径和问题

4.3 算法选择的关键判断
当问题呈现以下特征时，优先考虑动态规划：
存在重叠子问题
具备最优子结构
决策具有后效性

理解打家劫舍系列的核心，本质上就是掌握动态规划处理序列决策问题的通用方法。通过这三个经典变种的递进式训练，读者可以建立完整的动态规划思维框架，这种解题能力将辐射到股票买卖、路径规划等其他经典算法问题的求解中。记住：动态规划的本质在于用状态转移捕捉决策的连锁反应，用空间换时间实现计算优化。